Espace de colonne d'une matrice

L'algèbre linéaire est un large sujet de mathématiques avec des applications dans diverses situations du monde réel, en particulier dans l'apprentissage automatique. Les matrices et les vecteurs sont les éléments constitutifs fondamentaux de l'algèbre linéaire, et ils sont utilisés dans une variété de procédures et d'outils. L'espace de colonne d'une matrice sera discuté dans cet article. Nous passerons également en revue plusieurs terminologies nécessaires pour comprendre l'espace de colonne de la matrice.

Quelle est la durée d'un vecteur?

Span signifie simplement que compte tenu d'un ensemble de vecteurs, si une combinaison linéaire est appliquée à cet ensemble de vecteurs et il reste dans cet espace vectoriel, il couvre cet espace vectoriel. Cela signifie que si vous multipliez un scalaire par un vecteur spécifique, il restera dans cette dimension, que vous travailliez avec la première, la deuxième, la troisième ou le nième dimension. On dit qu'il «s'étend» partout dans cette dimension. Lorsque vous multipliez un ensemble de vecteurs par un scalaire, il indique simplement que l'ensemble de vecteurs avec lesquels vous travaillez peut couvrir (ou être placé n'importe où à l'intérieur) de la dimension complète (ou de l'espace vectoriel) avec lequel vous travaillez.

Qu'est-ce que la combinaison linéaire?

Supposons que vous ayez un ensemble d'objets mathématiques x₁… .X_n qui prend en charge la multiplication scalaire et l'ajout (e.g., membres d'un anneau ou d'un espace vectoriel), puis y = a₁X₁+un₂X₂+… un_nX_n (où ai sont des valeurs scalaires). L'illustration la plus populaire est d'utiliser des vecteurs 3D dans l'espace euclidien. Un vecteur qui réside dans le même plan à travers l'origine que les deux vecteurs originaux mis à l'origine est une combinaison linéaire de deux de ces vecteurs.

Que sont les espaces de lignes et de colonnes?

Supposons que A est une matrice MXN sur le champ F. Ensuite, il y a des vecteurs de composants N dans les lignes, et il y en a m d'entre elles. De même, chaque vecteur M-composant est représenté par n colonnes. Le sous-espace de fⁿ Formé par les vecteurs de ligne est l'espace de ligne de A, et ses éléments sont des combinaisons linéaires des vecteurs de ligne. Cet espace a une dimension, et les colonnes obligent de telles relations entre les lignes et vice versa. De même, l'espace de colonne de la matrice est le sous-espace de f^m formé par les vecteurs de colonne de la matrice. Bien que cet espace soit distinct de l'espace en ligne en général, il a les mêmes dimensions que l'espace de ligne car toute relation linéaire entre les colonnes impose également de telles relations entre les lignes et vice versa.

Plonger plus dans l'espace de la colonne

Span est le concept le plus fondamental. Autrement dit, la portée des colonnes d'un vecteur donné est ce que nous appelons l'espace de colonne. Vous pouvez prendre toutes les combinaisons linéaires possibles de vecteurs si vous en avez une collection. L'espace vectoriel résultant est connu comme la portée de la collection originale. L'espace de colonne est une collection d'un ensemble de toutes les combinaisons linéaires possibles des vecteurs de colonne de la matrice. En d'autres termes, si un vecteur b en r^m Peut être exprimé comme une combinaison linéaire des colonnes de A, c'est dans l'espace de la colonne de A. C'est-à-dire, b ∈ Cs (a) précisément lorsqu'il existe des scalaires x₁, X₂,… , X_n tel que

Comme le produit de A avec un vecteur de colonne, toute combinaison linéaire des vecteurs de colonne d'une matrice A peut être écrite:

Par conséquent, l'espace de colonne de la matrice A se compose de tous les produits possibles a * x, pour x ∈ Cⁿ. Le résultat ci-dessus est également l'image de la transformation de la matrice correspondante.

Nous désignons généralement les espaces de ligne et de colonne de la matrice (disons a) par C (AT) et C (a), respectivement.

Conclusion

Cet article a couvert divers sujets relatifs à l'espace de colonne de la matrice. La portée d'un vecteur est l'espace qui reste inchangé après qu'une combinaison linéaire est appliquée à la collection de vecteurs. Après avoir multiplié un ensemble de vecteurs et de scalaires, la sommation est appelée combinaison linéaire. La collection de toutes les combinaisons linéaires imaginables des vecteurs de colonne d'une matrice est l'espace de colonne de la matrice.